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    Qu'est-ce que les mathématiques ? Du comptage à la science des structures

    Notion
    8 min de lectureAntiquité - aujourd'hui

    Un berger néolithique qui fait une encoche sur un os pour chaque brebis, un scribe babylonien qui calcule l'aire d'un champ, Euclide qui démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers, un physicien du CERN qui prédit une particule avec des équations : tous font des mathématiques. Mais de quoi s'agit-il exactement ? De la science des nombres et des figures, dit la tradition ; de la science des structures, répondent les mathématiciens modernes ; d'un langage, dit Galilée ; d'un jeu de symboles, disent certains philosophes.

    Le mot vient du grec mathêma, « ce qui s'apprend », « la connaissance ». Il désigne d'abord chez Pythagore et Platon un savoir supérieur, celui des vérités éternelles, accessible par la seule raison. Les mathématiques ont en effet une particularité unique parmi les sciences : leurs résultats se démontrent et ne se réfutent pas par l'expérience. Le théorème de Pythagore est aussi vrai aujourd'hui qu'il y a 2 500 ans ; aucune découverte ne le remettra en cause. C'est ce qui a fait leur prestige (Platon inscrivait « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre » au fronton de son Académie) et leur mystère : pourquoi des objets purement abstraits décrivent-ils si bien le monde physique ?
    Historiquement, les mathématiques naissent des besoins pratiques (compter, mesurer, partager, prédire les crues et les éclipses) en Mésopotamie et en Égypte, deviennent une science démonstrative en Grèce (Thalès, Pythagore, Euclide, Archimède), se transforment avec l'algèbre arabe (al-Khwarizmi, IXe siècle) et les chiffres indiens, puis explosent en Europe à partir du XVIIe siècle avec le calcul infinitésimal (Newton, Leibniz), avant de se refonder au XIXe-XXe siècle sur la théorie des ensembles et l'axiomatique.
    Pour le candidat, savoir dire ce que sont les mathématiques, d'où elles viennent et pourquoi elles fascinent est un préalable à tout sujet sur la vérité, la raison, la science ou l'abstraction.

    Définition

    Les mathématiques sont la science qui étudie, par le raisonnement déductif, des objets abstraits (nombres, figures, fonctions, structures, ensembles) et les relations qui les lient. Elles se distinguent des sciences expérimentales par leur méthode : une proposition mathématique est établie par une démonstration, c'est-à-dire un enchaînement de déductions logiques à partir d'axiomes (propositions admises sans preuve) et de définitions, et non par l'observation. Une fois démontré, un théorème est définitivement vrai dans le cadre où il a été prouvé.
    On distingue traditionnellement plusieurs branches : l'arithmétique (les nombres entiers), l'algèbre (les équations, puis les structures), la géométrie (les figures et l'espace), l'analyse (les fonctions, les limites, le calcul différentiel et intégral), les probabilités et statistiques (le hasard et les données), la logique et la théorie des ensembles (les fondements). Depuis le XXe siècle, ces frontières se sont largement effacées au profit d'une vision unifiée : les mathématiques comme étude des structures (groupes, espaces, catégories), selon le programme de Bourbaki.
    On parle de mathématiques pures quand l'objectif est la connaissance des objets mathématiques pour eux-mêmes, et de mathématiques appliquées quand elles servent à modéliser le réel (physique, économie, informatique, biologie). La distinction est poreuse : la théorie des nombres, longtemps la plus « pure » des disciplines, est aujourd'hui au cœur de la cryptographie qui protège les transactions bancaires.
    Le mot est au pluriel en français (« les mathématiques ») par tradition, alors que les mathématiciens y voient une science unique ; l'abréviation « maths » est admise, « la mathématique » au singulier est un usage savant (Bourbaki).

    Contexte

    Les premières traces de comptage remontent au Paléolithique (os d'Ishango, Congo, environ 20 000 ans). Les civilisations mésopotamienne et égyptienne (IIIe millénaire av. J.-C.) développent des mathématiques de scribes : numération en base 60 à Babylone (d'où nos 60 minutes et 360 degrés), tables de calcul, résolution d'équations, papyrus Rhind en Égypte (vers 1650 av. J.-C.). Ce sont des recettes efficaces, sans démonstration.
    La rupture grecque (VIe-IIIe siècle av. J.-C.) est l'invention de la preuve : Thalès démontre des propriétés des triangles, les pythagoriciens font des nombres l'essence du monde (et découvrent avec effroi l'irrationalité de √2), Euclide compose vers 300 av. J.-C. les Éléments, exposé axiomatique de la géométrie qui restera un manuel jusqu'au XXe siècle, Archimède calcule des aires et des volumes par des méthodes annonçant le calcul intégral. Le monde arabo-musulman (VIIIe-XIIIe siècle) traduit, conserve et enrichit cet héritage : al-Khwarizmi fonde l'algèbre (du mot al-jabr), adopte les chiffres indiens et le zéro, que Fibonacci introduit en Europe en 1202.
    Le XVIIe siècle européen est le grand siècle : Descartes unit algèbre et géométrie (géométrie analytique, 1637), Fermat et Pascal fondent les probabilités (1654), Newton et Leibniz inventent le calcul infinitésimal (1665-1684), outil de la physique moderne. Les XVIIIe et XIXe siècles (Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy, Galois, Riemann) approfondissent et rigorisent ; la découverte des géométries non euclidiennes (années 1830) ébranle l'idée d'une vérité géométrique unique. Le XXe siècle refonde la discipline sur la théorie des ensembles de Cantor, affronte la crise des fondements (Gödel, 1931), voit naître l'informatique (Turing) et Bourbaki. Aujourd'hui, la recherche mathématique n'a jamais été aussi active : des problèmes vieux de siècles sont résolus (théorème de Fermat par Andrew Wiles, 1994 ; conjecture de Poincaré par Grigori Perelman, 2003) et l'IA commence à assister les démonstrations.

    Mécanismes

    • L'abstraction : les mathématiques isolent une propriété (la quantité, la forme, la relation) indépendamment des objets concrets. « Trois » est ce qu'ont en commun trois pommes, trois jours et trois idées. C'est ce qui rend les mathématiques universelles et réutilisables.
    • La définition : chaque objet mathématique est défini avec précision (un nombre premier est un entier supérieur à 1 divisible seulement par 1 et par lui-même). Toute ambiguïté est bannie, ce qui permet la démonstration.
    • L'axiome et la démonstration : on part de propositions admises (par deux points passe une droite et une seule) et l'on déduit par la logique. Un théorème démontré est vrai dans le système d'axiomes choisi ; changer d'axiomes (géométrie non euclidienne) donne d'autres vérités, tout aussi cohérentes.
    • Le symbole et le formalisme : l'écriture symbolique (x, =, ∫, ∑), développée du XVIe au XVIIIe siècle, permet de manipuler les idées sans les reformuler ; « les mathématiques sont l'art de donner le même nom à des choses différentes » (Poincaré).
    • La généralisation : un résultat sur les triangles rectangles (Pythagore) devient un résultat sur les espaces à n dimensions ; une équation particulière devient une théorie des équations (Galois). La force des mathématiques est de monter en généralité.
    • La modélisation : pour appliquer les mathématiques au réel, on traduit une situation en objets mathématiques (une épidémie devient un système d'équations différentielles), on résout, puis on interprète ; le modèle simplifie, et sa validité se juge à la confrontation avec les données.

    Enjeux & débats

    1) Les mathématiques sont-elles découvertes ou inventées ? Pour les platoniciens (Platon, Gödel, Alain Connes), les objets mathématiques existent indépendamment de nous dans un monde intelligible, et le mathématicien les découvre comme l'explorateur un continent : comment expliquer sinon que des mathématiciens de cultures différentes trouvent les mêmes résultats ? Pour les formalistes (Hilbert) et les constructivistes, les mathématiques sont une création humaine, un jeu de symboles réglé, dont la « vérité » n'est que la cohérence. Le débat reste ouvert et structure la philosophie des mathématiques.
    2) Pourquoi les mathématiques décrivent-elles le monde ? Galilée affirme que « le livre de la nature est écrit en langage mathématique » (L'Essayeur, 1623) ; le physicien Eugene Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques » (1960) : des théories développées pour elles-mêmes (géométrie non euclidienne, matrices) se révèlent des décennies plus tard décrire la relativité ou la mécanique quantique. Est-ce que le monde est mathématique, que notre esprit projette ses structures, ou que nous ne retenons que les théories qui marchent ?
    3) Vérité absolue ou vérité relative ? Kant faisait de la géométrie euclidienne une forme a priori de notre intuition ; les géométries non euclidiennes (Lobatchevski, Bolyai, Riemann) puis la relativité générale ont montré qu'elle n'était qu'un choix parmi d'autres. Gödel (1931) a prouvé qu'aucun système assez riche ne peut démontrer sa propre cohérence ni décider tous ses énoncés. Les mathématiques restent le modèle de la certitude, mais d'une certitude interne à des cadres choisis.
    4) Une science élitiste ? Les mathématiques servent en France de filtre scolaire (« la bosse des maths », la sélection par les maths), ce qui nourrit une anxiété spécifique et des inégalités sociales et de genre ; d'autres y voient au contraire l'outil d'émancipation le plus démocratique, puisqu'il ne dépend ni de la naissance ni de la culture.

    Exemples

    • L'os d'Ishango (vers 20 000 av. J.-C.) : os découvert au Congo portant des séries d'encoches groupées, interprétées comme un des plus anciens témoignages de comptage ; conservé à Bruxelles.
    • La base 60 babylonienne : les scribes de Mésopotamie comptaient en base 60, héritage encore présent dans nos heures (60 minutes), nos angles (360 degrés) ; la tablette Plimpton 322 (vers 1800 av. J.-C.) contient des triplets pythagoriciens mille ans avant Pythagore.
    • Les *Éléments* d'Euclide (vers 300 av. J.-C.) : treize livres, cinq postulats, 465 propositions démontrées ; l'ouvrage le plus réédité de l'histoire après la Bible, manuel de géométrie jusqu'au XXe siècle et modèle de toute science déductive.
    • Al-Khwarizmi (vers 780-850) : savant persan de Bagdad, auteur du Kitab al-jabr qui donne son nom à l'algèbre ; la déformation latine de son nom a donné le mot « algorithme ».
    • L'invention du zéro : conçu en Inde (Brahmagupta, VIIe siècle) comme un nombre à part entière, transmis par les Arabes, popularisé en Europe par Fibonacci (Liber abaci, 1202) ; la numération de position rend possible le calcul écrit.
    • Le dernier théorème de Fermat (1637-1994) : Fermat note en marge qu'il a une preuve « merveilleuse » que x^n + y^n = z^n n'a pas de solution entière pour n > 2, mais que la marge est trop étroite ; il faut 357 ans et 130 pages à Andrew Wiles pour la démontrer (1994).
    • Grigori Perelman (2003-2006) : mathématicien russe qui démontre la conjecture de Poincaré (1904), refuse la médaille Fields (2006) et le million de dollars du prix Clay ; symbole de la recherche désintéressée.

    Pièges & confusions

    • Réduire les mathématiques au calcul : le calcul est un outil ; les mathématiques sont un raisonnement sur des structures. Un mathématicien calcule souvent moins qu'un comptable.
    • Croire que les mathématiques sont une science expérimentale : elles n'observent pas, elles démontrent ; c'est leur singularité (et leur lien avec la philosophie).
    • Dire « les Grecs ont inventé les mathématiques » : ils ont inventé la démonstration ; Babyloniens, Égyptiens, Indiens, Chinois, Arabes ont chacun apporté des pièces essentielles.
    • Confondre « al-Khwarizmi », « algèbre » et « algorithme » : le savant, sa discipline, et le mot dérivé de son nom ; trois choses différentes.
    • Attribuer les chiffres « arabes » aux Arabes : ils viennent d'Inde ; les Arabes les ont transmis, d'où le nom.

    Usage concours / oral

    Cette fiche est votre socle pour tout sujet sur la vérité, la raison, la science, l'abstraction ou le langage. L'accroche platonicienne (« Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ») et la phrase de Galilée sur le « livre de la nature » sont deux classiques qui fonctionnent toujours en introduction ; la formule de Wigner sur la « déraisonnable efficacité » est moins connue et impressionne.
    Le débat découverte/invention est une mine pour une dissertation : il permet d'opposer Platon aux formalistes, de convoquer Kant et les géométries non euclidiennes, et de conclure sur Gödel. Il montre au jury que vous savez qu'une science « exacte » a aussi ses questions ouvertes. Retenez la chronologie en cinq temps : scribes (Babylone, Égypte), preuve (Grèce), algèbre (Bagdad), calcul infinitésimal (XVIIe siècle), fondements (XXe siècle).
    À l'oral, si l'on vous demande si vous aimez les mathématiques ou pourquoi elles sont si sélectives en France, ne vous excusez pas et ne récitez pas : donnez un exemple qui vous a marqué (l'infinité des nombres premiers, l'histoire de Fermat, le refus de Perelman) et une réflexion sur la place des maths dans la formation de l'esprit. Un candidat littéraire qui parle avec justesse des mathématiques marque des points ; un candidat scientifique qui sait en parler avec culture aussi.

    Sources

    • Histoire des mathématiques
    • Une histoire des mathématiques : routes et dédales
    • The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
    • Philosophy of Mathematics
    • Société Mathématique de France

    Questions d'oral

    1Qu'est-ce qui distingue les mathématiques des autres sciences ?2Les mathématiques sont-elles découvertes ou inventées ?3Pourquoi les mathématiques décrivent-elles si bien le monde physique ?4Quelle est la contribution des Grecs, et celle des Arabes, aux mathématiques ?5Qu'est-ce qu'une démonstration ?

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