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    Le XVIIe siècle : Descartes, Pascal, Newton et la mathématisation du monde

    Courant
    8 min de lecture1600 - 1700

    En un siècle, entre Galilée et Newton, l'Europe passe d'une vision du monde héritée d'Aristote, faite de qualités et de finalités, à une nature écrite en langage mathématique. Ce que l'on appelle la révolution scientifique est d'abord une révolution mathématique : on invente les outils (géométrie analytique, calcul des probabilités, calcul infinitésimal) qui permettent de décrire le mouvement, le hasard et la variation, et l'on découvre que ces outils rendent compte des planètes comme de la chute des corps.

    Trois Français et deux géants européens dominent le siècle. Descartes (1596-1650), dans sa Géométrie (1637), annexe de son Discours de la méthode, unit l'algèbre et la géométrie : une courbe devient une équation, un problème de figure un problème de calcul ; les « coordonnées cartésiennes » naissent là. Fermat (1601-1665), magistrat toulousain et mathématicien du dimanche, fonde avec Pascal (1623-1662) le calcul des probabilités (1654) et laisse en marge d'un livre le théorème le plus célèbre de l'histoire. Pascal invente la première machine à calculer (la Pascaline, 1642), le triangle qui porte son nom, et fait du pari une question d'espérance mathématique. Enfin Newton (1642-1727) et Leibniz (1646-1716) inventent, indépendamment et en se disputant la priorité, le calcul infinitésimal, qui permet de traiter la vitesse, l'accélération, les aires et les tangentes : c'est l'outil qui rendra possible la physique mathématique, des Principia de Newton (1687) à Einstein.
    Ce siècle est aussi celui d'un débat sur les pouvoirs et les limites de la raison mathématique, dont Pascal est la conscience inquiète : « esprit de géométrie » et « esprit de finesse », « le silence éternel de ces espaces infinis m'effraie ». Pour le candidat, il fournit les fondements de la modernité scientifique et des figures qui sont autant de repères philosophiques.

    Définition

    La géométrie analytique (Descartes, Fermat, 1637) est la méthode qui représente les points par des nombres (coordonnées) et les courbes par des équations : la droite devient y = ax + b, le cercle x² + y² = r². Elle permet de résoudre des problèmes géométriques par le calcul, et inversement de « voir » les équations ; elle est à la base de toute représentation graphique moderne.
    Le calcul des probabilités est la théorie mathématique du hasard, née de la correspondance entre Pascal et Fermat en 1654 à propos du « problème des partis » (comment partager équitablement les mises d'un jeu interrompu). Elle repose sur le dénombrement des cas possibles et le concept d'espérance (gain moyen pondéré par les probabilités). Huygens la systématise (1657), puis Jacques Bernoulli (loi des grands nombres, 1713) et Laplace (1812) en font une science.
    Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est l'ensemble des méthodes qui permettent d'étudier la variation des grandeurs : la dérivée mesure le taux de variation instantané (la vitesse est la dérivée de la position), l'intégrale calcule une somme continue (une aire, une distance parcourue). Newton (« méthode des fluxions », vers 1665-1671) le conçoit pour la mécanique ; Leibniz (1684) en crée la notation (dx, ∫) encore utilisée. Le lien entre les deux opérations (théorème fondamental de l'analyse) est la grande découverte du siècle.
    La mathématisation de la nature est la thèse, formulée par Galilée et réalisée par Newton, selon laquelle les phénomènes physiques obéissent à des lois exprimables en équations : la même loi de la gravitation universelle (1687) explique la chute d'une pomme et l'orbite de la Lune. Le philosophe Alexandre Koyré a résumé cette révolution par la formule « du monde clos à l'univers infini ».

    Contexte

    Le siècle s'ouvre sur Kepler, qui établit que les planètes décrivent des ellipses (1609), et sur Galilée, qui formule la loi de la chute des corps (la distance croît comme le carré du temps) et proclame que « le livre de la nature est écrit en langage mathématique » (1623) ; son procès (1633) montre que la mathématisation du ciel est aussi une question politique et religieuse. Descartes, qui apprend la condamnation de Galilée, renonce à publier son Monde et choisit en 1637 le Discours de la méthode, dont la Géométrie est l'une des trois annexes : la méthode consiste à ne rien admettre qui ne soit évident et à procéder par ordre, comme les géomètres.
    La France de Louis XIII et Louis XIV devient un centre : le père Mersenne anime une correspondance européenne ; Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, invente en marge de la géométrie analytique, de la théorie des nombres (petit théorème, dernier théorème) et des méthodes de maximum et minimum qui annoncent la dérivée ; Pascal, enfant prodige (traité sur les coniques à 16 ans), construit la Pascaline pour son père collecteur d'impôts, puis, après sa conversion (1654), abandonne les sciences pour les Pensées. Colbert fonde l'Académie des sciences (1666) ; Huygens (horloge à pendule, théorie des probabilités) y est appelé.
    En Angleterre, Newton, réfugié à la campagne pendant la peste de 1665-1666, conçoit en dix-huit mois le calcul, la théorie des couleurs et la gravitation ; il ne publie les Principia qu'en 1687, sous la pression de Halley. Leibniz, philosophe et diplomate, publie sa version du calcul en 1684 ; la querelle de priorité (1699-1716), envenimée par la Royal Society que Newton préside, empoisonne les relations entre mathématiciens anglais et continentaux pendant un siècle, au détriment des Anglais restés fidèles à la notation newtonienne. Le siècle se termine sur une Europe savante unifiée par le latin, les académies et le journal (le Journal des savants, 1665), et convaincue que la raison mathématique est la clé de l'univers.

    Mécanismes

    • L'algébrisation : Viète (fin XVIe siècle) introduit les lettres pour désigner les inconnues et les paramètres ; Descartes fixe les conventions (x, y, z pour les inconnues, a, b, c pour les données, exposants). Le symbolisme rend le raisonnement mécanique et généralisable.
    • La correspondance courbe-équation : Descartes montre que toute courbe construite mécaniquement a une équation ; Fermat part inversement des équations pour engendrer les courbes. La géométrie cesse d'être la reine pour devenir une application de l'algèbre.
    • L'infiniment petit : pour calculer une tangente ou une aire, on raisonne sur des quantités « évanouissantes » (Newton) ou « infiniment petites » (Leibniz), que l'on néglige à la fin. Méthode féconde mais logiquement floue, moquée par l'évêque Berkeley (« fantômes de quantités disparues ») et fondée rigoureusement seulement au XIXe siècle par Cauchy et Weierstrass (notion de limite).
    • Le dénombrement et l'espérance : Pascal compte les cas favorables sur les cas possibles à l'aide de son triangle arithmétique ; l'espérance (probabilité × gain) devient le critère de décision rationnelle sous incertitude, jusqu'au « pari » sur l'existence de Dieu.
    • La loi comme équation : Newton pose que la force gravitationnelle est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance ; de cette seule formule il déduit les lois de Kepler, les marées, la forme aplatie de la Terre. Prédire devient calculer.
    • La communauté savante : correspondances (Mersenne), académies (Londres 1660, Paris 1666), journaux ; la science devient une entreprise collective, publique et cumulative, avec ses querelles de priorité.

    Enjeux & débats

    1) Raison mathématique et foi : le cas Pascal. Pascal est le génie qui doute de son génie : dans les Pensées, il distingue l'« esprit de géométrie » (qui raisonne à partir de principes clairs mais éloignés de l'usage) et l'« esprit de finesse » (qui saisit d'un coup d'œil des principes nombreux et subtils), affirme que « le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point », et s'effraie du « silence éternel des espaces infinis » que la science nouvelle révèle. Il applique pourtant le calcul des probabilités à la question de Dieu (le pari). Il incarne la tension, propre au XVIIe siècle, entre confiance dans la raison et conscience de ses limites.
    2) Descartes contre Pascal : la méthode suffit-elle ? Pour Descartes, la méthode mathématique, étendue à toute la connaissance, permet de « nous rendre comme maîtres et possesseurs de la nature ». Pascal lui reproche un Dieu réduit à une « chiquenaude » initiale et une confiance excessive dans la raison : « Descartes inutile et incertain ». Ce débat sur les pouvoirs de la raison traverse toute la philosophie moderne.
    3) Newton ou Leibniz ? La querelle du calcul infinitésimal est le premier grand conflit de propriété intellectuelle en science. Les historiens concluent à une invention indépendante : Newton le premier en date (1665), Leibniz le premier à publier (1684), avec de meilleures notations. Elle illustre le passage d'une science de gentilshommes à une science de la reconnaissance et de la priorité.
    4) La mathématisation, progrès ou appauvrissement ? La science nouvelle ne retient du monde que ce qui se mesure ; les « qualités secondes » (couleurs, odeurs, sens) sont reléguées dans le sujet. Husserl (La Crise des sciences européennes, 1936) y verra l'origine d'un oubli du « monde de la vie » ; les défenseurs de la science y voient au contraire la condition de toute connaissance objective. Le débat rejoint celui sur la technique et le désenchantement du monde.

    Exemples

    • Le *Discours de la méthode* et la *Géométrie* (1637) : premier grand texte philosophique en français ; ses quatre règles (évidence, analyse, ordre, dénombrement) sont celles du mathématicien ; la Géométrie fonde les coordonnées et la notation moderne.
    • La Pascaline (1642) : première machine à calculer fonctionnelle, à roues dentées, additionne et soustrait ; une vingtaine d'exemplaires construits ; Pascal a 19 ans. Un langage informatique porte son nom (Pascal, 1970).
    • La correspondance Pascal-Fermat (été 1654) : à la demande du chevalier de Méré, joueur, ils résolvent le problème des partis ; naissance des probabilités, « géométrie du hasard » selon Pascal.
    • Le pari de Pascal (*Pensées*, fragment 418) : si Dieu existe, parier pour lui rapporte l'infini ; sinon, on ne perd rien : premier raisonnement de décision par l'espérance ; discuté depuis par tous les philosophes.
    • L'*annus mirabilis* de Newton (1665-1666) : l'université de Cambridge fermée par la peste, Newton, 23 ans, à Woolsthorpe, conçoit le calcul des fluxions, décompose la lumière blanche au prisme et a l'intuition de la gravitation (la pomme, anecdote rapportée par lui-même à la fin de sa vie).
    • Les *Principia mathematica* (1687) : trois lois du mouvement, loi de la gravitation universelle, déduction des lois de Kepler ; rédigés en latin et à la manière d'Euclide ; livre le plus influent de l'histoire des sciences.
    • La querelle Newton-Leibniz (1699-1716) : accusation de plagiat, commission de la Royal Society présidée par Newton qui rédige lui-même le rapport le condamnant ; Leibniz meurt en 1716 sans reconnaissance.

    Pièges & confusions

    • Confondre géométrie analytique et analyse : la première (Descartes) traduit les figures en équations ; la seconde (Newton, Leibniz) étudie la variation par les dérivées et les intégrales.
    • Attribuer les probabilités à Pascal seul : c'est une œuvre commune avec Fermat, systématisée par Huygens et Bernoulli.
    • Réduire Pascal à un mystique : il est l'un des plus grands savants du siècle (vide, pression, probabilités, machine à calculer) ; sa critique de la raison vient de l'intérieur.
    • Croire que Newton a « vu tomber une pomme » et compris la gravitation : la loi est le fruit de vingt ans de travail et de la sollicitation de Halley ; l'anecdote est un récit rétrospectif.
    • Oublier Leibniz : philosophe, inventeur du calcul binaire, de la notation dx/∫, et d'une machine à multiplier ; l'un des derniers esprits universels.

    Usage concours / oral

    Ce siècle vous fournit des références majeures pour les sujets sur la raison, la méthode, la science, le hasard, l'infini et la modernité. Descartes (« maîtres et possesseurs de la nature ») est l'accroche classique de tout sujet sur la technique ; Pascal offre trois citations à connaître par cœur : le silence des espaces infinis, le cœur et ses raisons, l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse. Cette dernière distinction est précieuse pour un sujet opposant intelligence et sensibilité, calcul et intuition.
    Pour un sujet sur le hasard ou la décision, l'anecdote du chevalier de Méré et la correspondance de 1654 permettent de dater la naissance d'une idée : que le hasard se calcule. Le pari de Pascal illustre la logique de l'espérance et ouvre sur l'économie de la décision. La querelle Newton-Leibniz est un bon exemple pour un sujet sur la reconnaissance, la propriété intellectuelle ou les rivalités entre nations en science.
    À l'oral, si un jury vous demande ce que vous retenez de la révolution scientifique, ne dites pas « la science a remplacé la religion » (Newton et Pascal étaient profondément croyants) ; dites que la nature est devenue calculable, que cela a rendu possibles la physique, la technique et l'idée de progrès, et que Pascal déjà en mesurait le vertige. Koyré, « du monde clos à l'univers infini », est la formule qui résume tout.

    Sources

    • Du monde clos à l'univers infini
    • Discours de la méthode, suivi de La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie
    • Pensées
    • Newton : Principia (traduction Émilie du Châtelet)
    • BibNum – textes fondateurs de la science commentés

    Questions d'oral

    1Qu'est-ce que la géométrie analytique et pourquoi est-ce une révolution ?2Comment sont nées les probabilités ?3Que distingue Pascal entre esprit de géométrie et esprit de finesse ?4À quoi sert le calcul infinitésimal et qui l'a inventé ?5Que veut dire Galilée quand il écrit que la nature est écrite en langage mathématique ?

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