Retour à la fiche
Question d'oral
Pourquoi la découverte des nombres irrationnels a-t-elle été un scandale ?
Réponse d'oral
La découverte des nombres irrationnels a été un scandale intellectuel parce qu’elle remettait en cause l’idée pythagoricienne selon laquelle les rapports entre grandeurs pouvaient toujours s’exprimer par des rapports de nombres entiers. Pour les pythagoriciens, dans la Grèce du Ve siècle avant notre ère, les nombres expliquaient l’ordre du monde, notamment l’harmonie musicale. Or une figure aussi simple qu’un carré révélait une grandeur impossible à exprimer par une fraction : sa diagonale. Ce n’était donc pas seulement une difficulté de calcul, mais une faille dans leur vision de l’univers.Prenons un carré de côté 1. Selon le théorème de Pythagore, sa diagonale mesure √2, puisque son carré vaut 1² + 1² = 2. Supposons que √2 soit une fraction irréductible a/b. Alors a² = 2b² : a² est pair, donc a aussi. En écrivant a = 2k, on découvre que b est également pair. Mais si a et b sont tous deux pairs, la fraction n’était pas irréductible ! Cette démonstration par l’absurde établit qu’aucune fraction ne peut exprimer exactement √2. La diagonale existe bien, mais elle est incommensurable avec le côté : aucune petite longueur commune ne permet de mesurer exactement les deux.Une tradition tardive raconte qu’Hippase aurait été noyé pour avoir révélé cette découverte ; ce récit reste incertain. L’essentiel est ailleurs : la démonstration obligeait à accepter un résultat contraire aux convictions initiales. Les mathématiques grecques ont ainsi appris à traiter rigoureusement ces grandeurs, notamment chez Euclide. Le véritable progrès ne commence-t-il pas lorsque la raison nous oblige à revoir nos certitudes ?