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Question d'oral
Qu'est-ce qu'un axiome et pourquoi le cinquième postulat d'Euclide est-il célèbre ?
Réponse d'oral
Un axiome est une proposition admise sans démonstration, qui sert de point de départ au raisonnement ; le cinquième postulat d’Euclide est célèbre parce que sa remise en question a fait naître les géométries non euclidiennes. Un axiome n’est donc pas un théorème : on l’admet, tandis qu’un théorème se démontre à partir des règles et des propositions déjà acceptées. Chez Euclide, vers 300 avant notre ère, les Éléments organisent ainsi la géométrie en un ensemble de résultats qui s’enchaînent logiquement.Le cinquième postulat concerne les parallèles. Dans une formulation équivalente, plus familière aujourd’hui, il affirme que, par un point extérieur à une droite, passe une seule parallèle à cette droite. Contrairement aux autres postulats, il semblait moins évident et plus compliqué. Pendant plus de deux mille ans, des mathématiciens ont donc essayé de le démontrer à partir des autres. Ils espéraient transformer cette hypothèse de départ en conséquence nécessaire, mais leurs tentatives échouaient.Au XIXe siècle, notamment avec Lobatchevski en 1829, une idée décisive s’impose : on peut construire une géométrie cohérente en remplaçant ce postulat. En géométrie hyperbolique, plusieurs droites passant par un même point extérieur ne rencontrent jamais la droite donnée. Autre conséquence précise : la somme des angles d’un triangle y est inférieure à 180 degrés. Cette découverte révèle qu’un axiome n’est pas forcément une vérité universelle sur l’espace : il définit le cadre dans lequel on raisonne. Reste alors une question : quelle géométrie décrit le mieux l’espace physique dans lequel nous vivons ?