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Question d'oral
Y a-t-il autant de nombres pairs que de nombres entiers ? Comment le sait-on ?
Réponse d'oral
Oui, il y a autant de nombres pairs que de nombres entiers : ces deux ensembles infinis ont le même cardinal, c’est-à-dire la même taille au sens mathématique. Cela paraît étrange, puisque les nombres pairs ne représentent qu’un entier sur deux. Mais, pour comparer deux ensembles infinis, on ne peut pas simplement compter leurs éléments jusqu’au dernier : il n’y en a pas ! On cherche plutôt une correspondance un à un, appelée bijection. Chaque élément du premier ensemble doit avoir un partenaire unique dans le second, sans laisser personne de côté.La règle est très simple : à chaque entier, on associe son double. Ainsi, 0 correspond à 0, 1 à 2, 2 à 4, 3 à 6, et ainsi de suite. Chaque entier possède exactement un double, et chaque nombre pair possède exactement une moitié entière. Aucun nombre pair n’est oublié et deux entiers différents ne donnent jamais le même résultat. Le raisonnement fonctionne aussi avec les entiers négatifs : −1 correspond à −2, −2 à −4. Cette règle suffit donc à démontrer l’égalité des tailles, sans devoir parcourir toute la suite.Ce résultat révèle une propriété étonnante de l’infini : une partie peut avoir autant d’éléments que le tout. Cantor a donné un cadre rigoureux à cette idée au XIXᵉ siècle. Pourtant, tous les infinis ne sont pas égaux : en 1891, son argument de la diagonale montre que les nombres réels sont plus nombreux que les entiers. L’infini invite ainsi à se demander jusqu’où nos intuitions habituelles peuvent guider le raisonnement mathématique.