Retour à la fiche
Question d'oral
Qu'est-ce que le paradoxe de Russell ?
Réponse d'oral
Le paradoxe de Russell montre qu’on ne peut pas former un ensemble à partir de n’importe quelle propriété sans risquer une contradiction. Découvert par Bertrand Russell en 1901, il concerne « l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ». Appelons-le R. La question est simple : R se contient-il lui-même ? Si oui, il ne respecte pas sa propre définition : il ne doit donc pas se contenir. Si non, il remplit exactement la condition pour appartenir à R : il doit donc se contenir. Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction.Une image permet de comprendre ce mécanisme. Dans un village, un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Ce barbier, lui-même un homme du village, se rase-t-il ? S’il se rase, la règle lui interdit de le faire. S’il ne se rase pas, la règle lui impose de le faire. La conclusion n’est pas qu’il faut trouver une astuce : c’est qu’un tel barbier ne peut pas exister.Le paradoxe a nourri la crise des fondements des mathématiques. En 1902, Russell le signale à Gottlob Frege, dont il fragilise le projet de fonder l’arithmétique sur la logique. Pour éviter ces difficultés, la théorie des ensembles sera encadrée par des axiomes, notamment avec Zermelo en 1908 : une propriété ne suffit plus, à elle seule, à définir un ensemble. Cette crise invite alors à une question plus large : jusqu’où peut-on faire confiance à l’intuition pour construire les mathématiques ?