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Question d'oral
En quoi la crise des fondements a-t-elle donné naissance à l'informatique ?
Réponse d'oral
La crise des fondements a donné naissance à l’informatique théorique en obligeant les mathématiciens à préciser ce qu’est une démonstration et ce qu’une machine peut calculer. À la fin du XIXe siècle, Cantor montre que l’infini n’a pas une seule taille : les nombres réels sont plus nombreux que les entiers. Mais la théorie des ensembles rencontre des paradoxes. En 1901, Russell soulève une difficulté : l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes se contient-il lui-même ? Chaque réponse conduit à une contradiction. Comment, dès lors, assurer des bases solides aux mathématiques ?Hilbert propose de les organiser en systèmes formels : des axiomes explicites et des règles de déduction précises. L’ambition est notamment de garantir leur cohérence et de trouver une procédure mécanique pour décider de la validité des énoncés logiques. En 1931, Gödel établit une limite majeure : tout système cohérent, dont les axiomes sont énumérables mécaniquement et qui exprime suffisamment d’arithmétique, est incomplet. Certaines propositions ne peuvent y être ni démontrées ni réfutées.Cette recherche des limites devient féconde. En 1936, Church et Turing précisent mathématiquement la notion de calcul mécanique. Turing imagine une machine qui lit et écrit des symboles selon des instructions : un modèle théorique de l’ordinateur. Il montre aussi qu’aucun algorithme général ne peut décider si n’importe quel programme finira par s’arrêter. La crise n’a donc pas fabriqué directement les ordinateurs, mais elle a fondé la calculabilité, qui distingue les problèmes accessibles aux algorithmes de ceux qui leur échappent. Reste à savoir comment vivre avec des machines toujours plus puissantes, mais soumises à des limites irréductibles.