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Question d'oral
Que démontrent les théorèmes d'incomplétude de Gödel, et que ne démontrent-ils pas ?
Réponse d'oral
Les théorèmes d’incomplétude de Gödel démontrent les limites de certains systèmes mathématiques, mais ils ne démontrent ni que les mathématiques sont fausses, ni que la raison est impuissante. Publiés en 1931, ils concernent les systèmes capables d’exprimer l’arithmétique des entiers, dont les axiomes peuvent être énumérés par une procédure mécanique. Le premier théorème établit que, si un tel système est cohérent, c’est-à-dire sans contradiction, certaines propositions ne peuvent y être ni démontrées ni réfutées. Il existe donc des vérités sur les entiers qui échappent aux démonstrations de ce système.Comment est-ce possible ? Gödel attribue des nombres aux symboles et aux démonstrations : l’arithmétique peut alors parler, indirectement, de ses propres preuves. Il construit ainsi une proposition qui affirme, en substance : « Je ne suis pas démontrable dans ce système. » Le second théorème précise qu’un système satisfaisant les conditions requises, s’il est cohérent, ne peut pas démontrer sa propre cohérence avec ses seuls moyens. Cela porte un coup décisif au programme de Hilbert, qui cherchait à assurer les fondements des mathématiques par des preuves de cohérence utilisant des moyens élémentaires strictement contrôlés.Mais Gödel ne dit pas que tout est indémontrable ou que toutes les opinions se valent. Ses résultats n’établissent pas non plus que l’esprit humain dépasse nécessairement toute machine. Une proposition indécidable dans un système peut devenir démontrable dans un système enrichi, qui rencontrera toutefois de nouvelles limites. La question devient alors : comment choisir de nouveaux axiomes pour continuer à comprendre et à démontrer ?