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Question d'oral
Les mathématiques sont-elles aujourd'hui fondées ?
Réponse d'oral
Les mathématiques sont aujourd’hui fondées sur des règles précises et solides, mais elles ne disposent pas d’une garantie absolue qui prouverait, une fois pour toutes, leur absence de contradiction. La crise des fondements a donc moins détruit leur certitude qu’elle n’en a révélé les limites. Tout commence avec l’infini actuel : Cantor considère une collection infinie comme un tout, et non comme une suite que l’on peut toujours prolonger. On peut ainsi associer chaque entier à son double : les entiers pairs sont aussi nombreux que les entiers ! Pourtant, en 1891, son argument de la diagonale montre que les nombres réels sont plus nombreux que les entiers. Il existe donc plusieurs tailles d’infini.Ces découvertes soulèvent une difficulté : peut-on former librement n’importe quel ensemble ? Le paradoxe de Russell, découvert en 1901, montre que cette liberté conduit à des contradictions. La théorie des ensembles reçoit alors des axiomes qui encadrent les constructions autorisées. Hilbert veut aller plus loin : établir, par des méthodes élémentaires sûres, la cohérence des systèmes qui fondent les mathématiques. Mais Gödel démontre en 1931 ses théorèmes d’incomplétude : tout système cohérent dont les règles sont effectivement énumérables et qui contient suffisamment d’arithmétique laisse certaines propositions indécidables. Il ne peut pas non plus démontrer sa propre cohérence, sous les conditions usuelles.Cela ne signifie pas que les calculs deviennent douteux. Les démonstrations restent contrôlables à partir d’axiomes explicites, notamment ceux du système ZFC, largement utilisé aujourd’hui. Les fondements existent donc, mais leur justification n’est ni définitive ni entièrement refermée sur elle-même. Faut-il exiger d’un savoir qu’il garantisse absolument ses propres bases pour lui faire confiance ?
Autres questions
1.Y a-t-il autant de nombres pairs que de nombres entiers ? Comment le sait-on ?2.Qu'est-ce que le paradoxe de Russell ?3.Quel était le programme de Hilbert ?4.Que démontrent les théorèmes d'incomplétude de Gödel, et que ne démontrent-ils pas ?5.En quoi la crise des fondements a-t-elle donné naissance à l'informatique ?